Как определить длину катетов в прямоугольном треугольнике, зная только гипотенузу — подробное руководство с примерами

Один из самых простых и важных тригонометрических отношений — теорема Пифагора — позволяет нам расчитать длину всех сторон прямоугольного треугольника, если известна длина гипотенузы и одного из катетов. Но что делать, если нам известна только длина гипотенузы?

На помощь приходит тригонометрия! Нам понадобится функция синуса и косинуса, которые определяются через отношение сторон треугольника. Если вам известна длина гипотенузы и одного из углов треугольника, вы можете использовать эти функции, чтобы найти длину катетов.

Для этого вам потребуется знать, какие функции тригонометрии применять для нахождения нужного катета. Если вас интересуют катеты, то вам понадобится функция синуса: катет равен произведению длины гипотенузы на синус заданного угла. Если вы хотите найти длину второго катета, то вычисляете его через косинус угла.

Методы определения катетов

1. По формуле Пифагора

Формула Пифагора устанавливает соотношение между длинами катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике:

Для определения длин катетов, необходимо знать длину гипотенузы и один из катетов. Подставив известные значения в формулу Пифагора, можно найти неизвестный катет.

2. По соотношению между катетом и гипотенузой

В прямоугольном треугольнике существует такое соотношение между длинами катетов и гипотенузы:

Для определения длин катетов, необходимо знать длину гипотенузы и угол между катетом и гипотенузой. Подставив известные значения в соотношение, можно найти неизвестные катеты.

Вычисление по теореме Пифагора

c² = a² + b²

где c – гипотенуза, а a и b – катеты.

Вычисление значений катетов по известной гипотенузе по теореме Пифагора осуществляется следующим образом.

1. Возводим гипотенузу в квадрат.

2. Вычитаем квадрат одного из катетов из полученного значения гипотенузы в квадрате.

3. Извлекаем квадратный корень из полученного значения.

Таким образом, мы найдем длины катетов треугольника, если известна гипотенуза. Это является полезным инструментом для решения задач, связанных с прямоугольными треугольниками и нахождением их сторон.

Вычисление с использованием функций синуса и косинуса

Определение катетов прямоугольного треугольника, при известной гипотенузе, может быть выполнено с помощью функций синуса и косинуса. Эти функции позволяют нам выразить отношения сторон треугольника и использовать их для вычисления неизвестных значений.

Функция синуса относится к соотношению «противоположная сторона деленная на гипотенузу», то есть sin(α) = a / c, где α — угол, a — противоположная сторона и c — гипотенуза.

Функция косинуса относится к соотношению «прилежащая сторона деленная на гипотенузу», то есть cos(α) = b / c, где α — угол, b — прилежащая сторона и c — гипотенуза.

Применяя данные функции, мы можем выразить противоположную и прилежащую стороны через гипотенузу и соответствующие углы треугольника. Затем, используя известное значение гипотенузы и функции синуса и косинуса, мы можем найти значения катетов.

Пример вычисления: допустим, у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой c = 10 и углом α = 30 градусов. Мы можем использовать функцию синуса для вычисления противоположной стороны a: sin(30) = a / 10. Решая это уравнение, мы получаем a = 10 * sin(30) = 5.

Аналогично, мы можем использовать функцию косинуса для вычисления прилежащей стороны b: cos(30) = b / 10. Решая это уравнение, мы получаем b = 10 * cos(30) ≈ 8.66.

Таким образом, применение функций синуса и косинуса позволяет нам вычислять катеты прямоугольного треугольника при известной гипотенузе и соответствующем угле. Эти функции очень полезны при решении задач геометрии и имеют широкое применение в научных и инженерных расчетах.

Вычисление по формуле гипотенузы и одного катета

При наличии известного значения гипотенузы и одного катета можно использовать теорему Пифагора для вычисления второго катета. В данной ситуации формула будет иметь вид:

Корень из суммы квадратов гипотенузы и известного катета равен второму катету.

Для вычисления второго катета необходимо знать значения гипотенузы и одного из катетов.

Шаги для вычисления:

1. Возвести известные значения гипотенузы и катета в квадрат.
2. Сложить полученные значения.
3. Взять квадратный корень из суммы.

Пример вычисления второго катета:

• Известно, что гипотенуза равна 10, а один из катетов равен 6.
• Возводим значения гипотенузы и катета в квадрат: 10^2 = 100 и 6^2 = 36.
• Суммируем полученные значения: 100 + 36 = 136.
• Берем квадратный корень из значения: √136 ≈ 11.66.

Таким образом, второй катет равен примерно 11.66.

Вычисление по формуле гипотенузы и одного катета позволяет находить значения недостающих сторон прямоугольного треугольника, что является полезным при решении различных задач и проблем.

Примеры решения задач

Ниже приведены несколько примеров решения задачи на нахождение катетов при известной гипотенузе:

1. Задача: Известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 сантиметрам, а один из катетов равен 6 сантиметрам. Найдите второй катет.

Решение: Используем теорему Пифагора: ²a + ²b = ²c, где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Подставляем известные значения: ²6 + ²b = ²10.

Упрощаем уравнение: 36 + ²b = 100.

Вычитаем 36 из обеих частей уравнения: ²b = 64.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: b = √64 = 8.

Ответ: Второй катет равен 8 сантиметрам.

2. Задача: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 сантиметрам, а один из катетов равен 5 сантиметрам. Найдите второй катет.

Решение: Используем ту же теорему Пифагора: ²a + ²b = ²c.

Подставляем известные значения: ²5 + ²b = ²13.

Упрощаем уравнение: 25 + ²b = 169.

Вычитаем 25 из обеих частей уравнения: ²b = 144.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: b = √144 = 12.

Ответ: Второй катет равен 12 сантиметрам.

3. Задача: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 сантиметрам, а один из катетов равен 8 сантиметрам. Найдите второй катет.

Решение: Используем теорему Пифагора: ²a + ²b = ²c.

Подставляем известные значения: ²8 + ²b = ²17.

Упрощаем уравнение: 64 + ²b = 289.

Вычитаем 64 из обеих частей уравнения: ²b = 225.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: b = √225 = 15.

Ответ: Второй катет равен 15 сантиметрам.

Пример 1: гипотенуза равна 10, один катет равен 6

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит:

в квадрате гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

По условию задачи, гипотенуза равна 10 и один из катетов равен 6. Запишем это в виде уравнения:

10² = 6² + x², где x — второй катет, который нам нужно найти.

Выполним вычисления:

100 = 36 + x²

64 = x²

Из полученного уравнения находим, что:

x = 8

Таким образом, при гипотенузе равной 10 и одном из катетов равном 6, второй катет будет равен 8.

Пример 2: гипотенуза равна 15, один катет равен 7

Для решения задачи, где гипотенуза равна 15, а один из катетов равен 7, можно использовать теорему Пифагора. Данная теорема устанавливает, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Поэтому, составим уравнение:

7^2 + x^2 = 15^2

49 + x^2 = 225

Вычтем 49 из обеих частей уравнения:

x^2 = 225 — 49

x^2 = 176

Извлечем корень из обеих частей уравнения:

x = √176

x ≈ 13.23

Таким образом, в данном примере второй катет равен приблизительно 13.23.

Для наглядности составим таблицу, где указаны известные значения:

Пример 3: гипотенуза равна 20, один катет равен 12

Дано:

• Гипотенуза (сторона c) = 20
• Один из катетов (сторона a) = 12

Найдем второй катет (сторона b).

Для этого воспользуемся формулой Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2

Подставим известные значения:

12^2 + b^2 = 20^2

Решим уравнение, чтобы найти второй катет:

144 + b^2 = 400

b^2 = 400 — 144

b^2 = 256

b = √256

b = 16

Ответ: второй катет (сторона b) равен 16.